为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验。
试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验,对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验。
当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效。

为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分,乙药得 $-1$ 分;
若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分,甲药得 $-1$ 分;
若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分。
甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$,一轮试验中甲药的得分记为 $X$。

(1)求 $X$ 的分布列。

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分,$p_{i}\left(i=0,1,...,8\right)$ 表示『甲药的累计得分为 $i$ 时,最终认为甲药比乙药更有效』的概率,则 $p_{0}=0$,$p_{8}=1$,$p_{i}=ap_{i-1}+bp_{i}+cp_{i+1}\left(i=1,2,...,7\right)$,
其中 $a=P\left(X=-1\right)$,$b=P\left(X=0\right)$,$c=P\left(X=1\right)$,假设 $\alpha=0.5$,$\beta=0.8$。

(i)证明:$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}\left(i=0,1,2,...,7\right)$ 为等比数列。

(ii)求 $p_{4}$,并根据的值解释这种试验方案的合理性。

答案

(1)略。(2)(i)易证公比为 $4$。

关于第二问

本段摘自 知乎用户『泰 A 醒』在问题『如何看待 2019 年全国一卷高考数学试题』上的回答

这道压轴题的命题人应该是站在随机过程的马尔可夫链角度出的题目。
马尔可夫链本质就是一个事件之后的状态只取决于上一步的状态。
比如在这个题目中,第 $t+1$ 次实验之后两种药的分数,只会基于第 $t$ 次试验之后的分数$+1$ / 不变 / $-1$,所以再之前的分数是多少就不用关心了,
知道第 $t$ 次实验之后的分数就足够对之后继续推测了。
下图是一种最简单马尔可夫链:随机游走的示意图。其中可以看到,每次试验之后的分数只会在前一次基础上 $+1$ / $-1$。而这道题目相当于是随机游走的一个变种,增加了一种分数维持不变的可能性。

回到这道题的解题上来,题目中关心的甲药的分数就是这样一个马尔可夫链,而我们关系甲药的分数和最后『试验表明甲药更有效』的概率之间的关系。这就要关系到甲药在不同分数之间转移的概率,也就是题目中给的式子:

$p_{i}=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$

这个式子本质上表达了这个马尔可夫链的传递规律,从 $p_{i}$ 我们有概率 $a$ 传递到 $p_{i-1}$,有概率 $b$ 留在 $p_{i}$,有概率 $c$ 传递到 $p_{i+1}$。
所以从 $p_{i}$ 出发,甲药最后获胜的概率也是如此传递的。

给出这个式子,本题只要带入第一问的分布列,就可以得到:

$p_{i+1}-p_i=4\left(p_{i}-p_{i-1}\right)$

然后求解 $p_{4}$ 只要在等比数列中代入 $p_{0}=0$,$p_{8}=1$,我们可以得知:

$p_8-p_4=4^4(p_4-p_0) \to p_4=\frac{1}{257}$

最后一个小问让从 $p_{4}$ 的角度解释试验的合理性。这个问题的思路也非常的统计学,本质上我们设计试验的目的是选出更有效的药,最后求出 $p_{4}$ 只有几百分之一,表明我们的试验从 $p_{4}$ 出发,只有非常小的概率会选错药,当然说明了这个试验是非常合理的。

最后修改:2019 年 11 月 09 日 08 : 29 PM
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